La Epistemología en la Formación de Docentes Universitarios de Matemática

Síntesis

En este ensayo se propone considerar como fundamental la preparación de los futuros docentes universitarios de Matemática de la universidad no sólo en Matemática y en Didáctica de la Matemática, sino también en Epistemología de la Matemática. Esto por dos motivos, uno cultural y otro profesional. El motivo cultural se centra en la figura misma del docente que, en primer lugar, debe realizar una transposición didáctica del Saber al saber de enseñar, que tenga en cuenta los estudiantes universitarios, y, en segundo lugar, debe comunicarse con ellos haciendo uso de los temas de la Matemática; en este ensayo se pone de manifiesto la necesidad de una preparación epistemológica ya sea para realizar la transposición didáctica como para hacer eficaz dicha comunicación. El motivo profesional está en el hecho que los obstáculos llamados epistemológicos requieren, para ser circundados, de un profundo conocimiento y de una gran toma de conciencia por parte del docente. Se sostiene también que una buena competencia epistemológica no puede prescindir de una conciencia histórica, dado que los dos aspectos deben ser vistos profundamente entrelazados.

Introducción

En este trabajo pretendo poner de manifiesto hasta qué punto el papel de la  epistemología, puede influir sobre las características de la formación de los docentes universitarios de matemática. Se dice que la práctica profesional del docente de matemáticas en las aulas universitarias sólo se podrá cambiar de una manera persistente si, correlativamente, se toma en cuenta los factores culturales. De lo antes expuesto, surge la siguiente interrogante: ¿Cuál es el papel de la epistemología en la formación de los docentes universitarios de matemática?.

Existen por tanto, dos motivaciones, que justifican la necesidad de una preparación cultural fuerte en epistemología de la matemática para los futuros docentes universitarios; estas son: factores culturales y factores didácticos o profesionales.

Para el desarrollo de este ensayos se analizarán los factores culturales y profesionales con la finalidad de preparar docentes universitarios considerando como fundamental la epistemología de la matemática.

El docente tiene dos deberes principales que consisten en: efectuar una transposición didáctica; el docente no puede limitarse banalmente a repetir la Matemática aprendida en la Universidad (su lugar de formación cultural, en lo que concierne a la Matemática); y comunicar la Matemática; todos nosotros sabemos que, en una situación de aula, el carácter mediador del docente es mucho más fuerte y que el estudiante casi nunca tiene acceso directo al Saber, limitando su propio empeño a la relación personal con el docente y al aprendizaje de la Matemática que el docente ha elegido para é; por tanto, el paso de la Matemática enseñada del docente al aprendiz se da en una situación comunicativa por demás fuerte, dominada por las complejas redes de la pragmática de la comunicación humana.

Desarrollo

1. La epistemología

La epistemología (del griego ἐπιστήμη (episteme), "conocimiento", y λόγος (logos), "teoría") es la rama de la filosofia cuyo objeto de estudio es el conocimiento científico. La epistemología, como teoría del conocimiento, se ocupa de problemas tales como las circunstancias históricas, psicológicas y sociológicas que llevan a su obtención, y los criterios por los cuales se lo justifica o invalida. Es de reciente creación, ya que el objeto al que ella se refiere es también de reciente aparición. En Grecia, el tipo de conocimiento llamado episteme se oponía al conocimiento denominado doxa. La doxa era el conocimiento vulgar u ordinario del hombre, no sometido a una rigurosa reflexión critica. La episteme era el conocimiento reflexivo elaborado con rigor. De ahí que el término "epistemología" se haya utilizado con frecuencia como equivalente a "ciencia o teoría del conocimiento científico". Los autores escolásticos distinguieron la llamada por ellos "gnoseología", o estudio del conocimiento y del pensamiento en general, de la epistemología o teoría del modo concreto de conocimiento llamado científico. Hoy en día, sin embargo, el término "epistemología" ha ido ampliando su significado y se utiliza como sinónimo de "teoría del conocimiento". Así, las teorías del conocimiento específicas son también epistemología; por ejemplo, la epistemología científica general, epistemología de las ciencias físicas o de las ciencias psicológicas.

2. Los factores culturales

El desarrollo de nuestra disciplina es el resultado no sólo de un progreso técnico y formal; por el contrario, estos dos aspectos son una consecuencia de la continua revisión del sentido y del significado que la Matemática busca al interno de sí misma. El rigor, por ejemplo, uno de los aspectos que más resiente el profano o el estudiante, no es un hecho intrínseco ni una costumbre del docente, es sólo una necesidad lingüística y filosófica (D’Amore, Plazzi, 1990), un filtro (a veces fatigoso) que el matemático da al propio instrumento lingüístico para evitar tergiversaciones (por tanto pluralidad de sentidos) y para dar un significado único a la comunicación. Es por esto que el rigor no es un hecho absoluto, es un hecho relativo a la época y al lugar, siempre en constante evolución.

De otra parte, el desarrollo de la Matemática, procede en diversas direcciones, pero no se puede negar que, en primera instancia y con gran fuerza, se asocie a la creación de conceptos; ahora bien, no se pueden crear conceptos sin delinearlos epistemológicamente, por tanto, queriendo o sin querer, quien reflexiona sobre el desarrollo de la Matemática debe necesariamente plantearse el problema de la naturaleza de los conceptos (D’Amore, 2001).

Como consecuencia encontramos que, olvidándonos del matemático de profesión que podría producir, y a veces produce, teoremas y/o teorías al interno de un determinado dominio sin salirse de este y sin estudiar el sentido general epistemológico, otra persona cualquiera que se ocupe de Matemática y de su desarrollo debe necesariamente ponerse el problema epistemológico como hecho cultural.

El docente de Matemáticas no es un creador de teoremas ni de teorías, es un profesional, experto en Matemática, a quien la sociedad le propone de hacer sí  que los jóvenes ciudadanos construyan y aprendan a usar competencias matemáticas.

En primer lugar, él debe conocer la Matemática, no obstante sobre este punto se hayan presentado diversas posiciones, yo lo juzgo un punto de partida al que no se puede renunciar (D’Amore, 1999a).

Pero el docente tiene dos deberes principales que consisten en:

·        Efectuar una transposición didáctica; el docente no puede limitarse banalmente a repetir la Matemática aprendida en la Universidad (su lugar de formación cultural, en lo que concierne a la Matemática); él debe transformar la Matemática (el saber matemático elaborado durante su formación académica) en un saber que sea adecuado a los estudiantes universitarios que tiene bajo su cargo, es decir, él debe transformar el Saber en un “saber de enseñar” (D’Amore, 1999b); esta transformación no es un hecho banal, por el contrario, es ampliamente creativa y forma parte estrechamente de la profesionalidad del docente (Fandiño Pinilla, 2002);

·        Comunicar la Matemática; todos nosotros sabemos que, en una situación de aula, el carácter mediador del docente es mucho más fuerte y que el estudiante casi nunca tiene acceso directo al Saber, limitando su propio empeño a la relación personal con el docente y al aprendizaje de la Matemática que el docente ha elegido para él (en forma más o menos consciente, más o menos vinculada); por tanto, el paso de la Matemática enseñada del docente al aprendiz se da en una situación comunicativa por demás fuerte, dominada por las complejas redes de la pragmática de la comunicación. Tomando como base estos dos puntos, se ve claramente como el docente no puede ignorar el sentido que tiene el desarrollo de la Matemática:

o      De otra manera no podría cumplir aquel acto creativo que es la transposición; lo puede hacer, sí y sólo sí, está en grado de elegir críticamente al interno de un cuerpo sobre el cual tiene alguna legitimidad y capacidad de decisión; si, por ejemplo, retiene que la Matemática no ofrece alternativas epistemológicas, que el cuerpo de conocimientos es aquello que es, inmutable, eterno, indiscutible, aquello que él aprendió, entonces no estará en grado de hacer la transposición didáctica y por tanto su éxito como docente estaría en duda;

o      De otra manera no podría comunicar la Matemática; sólo se puede comunicar lo que se ha construido dentro, aquello que forma parte de la experiencia personal, vivida, es decir personalizada; si la Matemática es vista como algo de impersonal, de a-temporal, sólo una sucesión de resultados secuenciales obtenidos por seres humanos que, mientras producen, sólo piensan al interno de la teoría en la cual crean, entonces no se puede hablar de comunicación sino de repetición de resultados; en la pragmática de la comunicación humana es implícito un sentido de propiedad crítica, de capacidad y de disponibilidad en la elección personal; de otra parte, uno de los límites de la Matemática transmitida en la escuela, más de una vez denunciado por Brousseau (1986) es precisamente el carácter impersonal y a-temporal, este querer esconder la rica historia del esfuerzo y de las dificultades que los seres humanos han encontrado en la construcción de la Matemática tal y como la conocemos hoy; el estudiante que ve en la Matemática sólo los resultados finales, limpios y cristalinos, libres de toda fatiga y de toda discusión, ordenados, obtenidos aparentemente como consecuencia de una deducción axiomática que parece caída del cielo, se le induce a pensar que la Matemática deba ser así por naturaleza; si este estudiante es un futuro docente de Matemáticas, llevará con sí, en su historia profesional, esta concepción equivocada de la disciplina. Son muchos los autores que puedo citar en defensa de esta visión que da gran importancia a la cultura en Epistemología de la Matemática por parte de los futuros docentes. Ciertamente Speranza (1997) se empeñó personalmente en la propuesta de incluir oficialmente esta materia como objeto de estudio en los programas de Especialización (postgrado) para la enseñanza de la Matemática. Así como Bachelard, quien además es considerado por muchos como el promulgador de la idea de concebir el error en la ciencia como algo que tiene un valor intrínseco (Bachelard, 1951), tanto que en este campo condicionó el pensamiento de Brousseau (1983, 1989), el creador de la moderna Didáctica de la Matemática.

            Obstáculos epistemológicos

Todos los investigadores en Didáctica de la Matemática conocen la “teoría de los obstáculos”, teoría fundamental de Guy Brousseau. Por más distinciones que se puedan hacer, sigue siendo fundamental, para la gestión de la vida en aula y para el análisis de los errores (con todo lo que implica en el campo de la evaluación), la distinción en tres tipologías de obstáculos:

·        Ontogenéticos

·        Didácticos

·        Epistemológicos.

Si tomamos el “triángulo de la didáctica” (Chevallard, 1985) como modelo de la situación de aula (en particular para evidenciar la complejidad del sistema) (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002), entonces se puede intentar como una primera aproximación que los obstáculos:

·        Ontogenéticos son asociables al vértice “estudiante”

·        Didácticos son asociables al vértice “docente”

·        Epistemológicos son asociables al vértice “Saber”.

Esta forma de ver las cosas da una idea de unidad al interno de la Didáctica, como teoría clarificadora de las relaciones, que de otra forma se eludirían. En tal caso, pero, resulta obvio que este instrumento potencialmente excepcional produce resultados positivos en las manos del docente sí y sólo sí él toma conciencia (conciencia que se logra gracias a los estudios de Didáctica); pero, por lo que respecta al tercer punto, él tiene necesidad de un conocimiento más, el de la Epistemología precisamente, para poder por lo menos reconocer, entre los inevitables errores de los estudiantes, aquellos que se pueden catalogar propiamente como los que tienen origen en un obstáculo epistemológico. En este caso, la Didáctica por sí sola no puede alcanzar y pide ayuda a las competencias epistemológicas.

            Currículo y la centralidad del estudiante

Las observaciones precedentes tienen notables repercusiones en el sentido del currículo; de un pesante fardel de respetar, el currículo se convierte en un instrumento de plasmar y de aprovechar en la situación verdadera de aula, móvil conductor de la historia de clase. De una lista más o menos comentada que viene impuesta en aula y que condiciona toda la actividad dentro de esta, el currículo se transforma en arma que se adaptada a hacer sí que cada estudiante sea puesto, con base en sus propias capacidades, en las mejores condiciones para construir competencias matemáticas; de un currículo normativo se pasa precisamente a un currículo que refleja puntos de vista epistemológicos.

Esto coloca al centro la figura del estudiante, y deja de lado aquella secuencia curricular junto con los meros contenidos. Esto significa interpretar al revés aquello que en D’Amore he llamado “epistemología del aprendizaje de la Matemática”: el problema real de quien se ocupa de Didáctica de la Matemática, como investigación o como profesión, es el de entender los procesos de aprendizaje de la Matemática, no limitarse únicamente a crear ideales de enseñanza.

            La influencia sobre la evaluación

De los últimos párrafos, particularmente, emerge una visión compleja de la evaluación como proceso y no como fin, por tanto como instrumento didáctico. En Fandiño Pinilla, se propone una evaluación que tiene diferentes objetivos: evaluación del currículo, autoevaluación de la eficacia del proceso de enseñanza, evaluar para dar información de lo que se considera importante, evaluar para tomar decisiones, evaluar para dar un juicio del estudiante… En cuanto a los objetivos y a las técnicas de cada una de estas acepciones, la situación es complicada precisamente porque en muchas ocasiones, para tomar decisiones, se necesita hacer elecciones de carácter epistemológico. Una innovación de la evaluación implica elección de criterios y es por esto que se llama “evaluación por criterios”. A frenar estos específicos impulsos innovadores, están ciertamente las convicciones de los docentes universitarios y muchas de sus concepciones de escuela, sentido de la instrucción etc., en forma mucho más específica. Pero, hemos visto como las convicciones epistemológicas, incluso cuando faltan o dan la idea de faltar, marcan decididamente todas las otras, así que el círculo se cierra.

Entre las elecciones, no siempre implícitas, surgen, con un cierto porcentaje, aquellas actitudes que reflejan, más o menos, formas de interpretar la Matemática y que se identifican con escuelas epistemológicas: formalismo, platonismo, logicismo, empirismo, intuicionismo según Poincaré, intuicionismo como construcción de actos de pensamiento, etc. Y hoy, más en general, condensadas en dos grandes grupos: realismo y pragmatismo que las resumen.

Ahora bien, el uso de las convicciones maduradas con los estudios epistemológicos debe hacer pareja con una fuerte competencia en Didáctica de la Matemática porque sólo así se contribuye a formar aquella herramienta, aquellos instrumentos útiles, prácticos y teóricos, en la profesión docente, para entender de esta forma la evolución de las situaciones de aula. A esto favorece ciertamente la valiosa contribución de Guy Brousseau quien, además de ser pionero y de haber determinado los primeros pasos de la Didáctica de la Matemática, proporciona aún hoy, en mi opinión, material de reflexión, en constante evolución y de gran profundidad. Ideas como el contrato didáctico, la teoría de los obstáculos, la teoría de las situaciones, junto con los análisis críticos que han llevado a la desaparición de precedentes formas de interpretar la Didáctica de la Matemática, son aún hoy de analizar y de potenciar: son misterios que esperan ser aclarados.

            El problema de los “elementos primarios”

En el siglo XVIII apasionaba la pregunta: ¿qué significa “simple de entender”?. ¿Lo “simple” es un hecho absoluto o un hecho relativo?. ¿Lo “simple” es indiferentemente tanto para el científico como para el estudiante que esta aprendiendo las primeras bases?. O ¿Existe alguna diferencia?, si es así ¿cuál?. Podría ser interesante, sólo para tener una idea de la situación, ver como d’Alembert autor de la sección Elementos de ciencias, intenta hacer emanar ideas didácticas de la hipótesis cartesiana de síntesis, de lo simple a lo complejo, y de como se ve obligado él mismo a admitir que la situación se complica de inmediato.

Se de forzar las cosas, pero es como si se comenzara a admitir algo de moderno, que existe una profunda diferencia entre:

·        La disciplina en sí, tal y como es conocida y practicada por los especialistas,

·        Por los científicos;

·        La Didáctica general en sí, tal y como esta constituida, con sus acepciones generales aceptables y garantizadas por reflexiones significativas conducidas por expertos del sector;

·        La Didáctica disciplinar en sí, que tiene parámetros, paradigmas y objetivos totalmente diferentes. El verdadero punto en discusión esta evidenciado cuando d’Alembert intenta ver que significa que un concepto precede a otro: ¿de cuál partir?; ¿cuál tomar como punto de partida?; ¿cuáles son los conceptos primarios?. Por ejemplo, en Matemática, el científico toma como punto de partida ideas como espacio, plano, recta, punto, número, … y algunas “conexiones” entre estos; pero, ¿estamos totalmente seguros que en Didáctica de la Matemática esto sea lo más conveniente?. ¿Los elementos primarios del científico son o deben ser necesariamente los mismos elementos primarios del estudiante?. Más que aceptar los elementos primarios del científico, ¿no sería mejor recorrer la generación de ideas que han llevado a elegir estos objetos como primarios?. No es aquí el caso de profundizar, pero es representativo el hecho que este debate, de carácter didáctico, lleve a d’Alembert a pasar de una posición del todo cartesiana a una posición lockiana y después ver como intenta de conciliar estas dos: «Las ideas simples pueden reducirse a dos tipos: uno son las ideas abstractas, (…) el segundo tipo de ideas simples está encerrada en las ideas primitivas que adquirimos a través de nuestras sensaciones». Pero: los elementos que los estudiantes, que se acercan por primera vez al estudio de la ciencia, están en grado de comprender, ¿son o no son los mismos elementos de la ciencia?; o: ¿son por lo menos de igual naturaleza?.

o       Si se responde que sí, entonces el método didáctico es una reestructuración, una sistematización, una puesta en campo progresivo de los elementos de la ciencia, del saber de los científicos;

o       Si se responde que no, ¿cómo se pasa de las competencias infantiles, de los elementos cognitivos que posee un estudiante al inicio de su recorrido escolar, al saber científicamente entendido?. En todo caso, ¿qué relación existe entre los elementos primarios adquiribles por el estudiante y los elementos primarios de las ciencias académicamente entendidas?. Para mi, es a partir de este debate que comienza finalmente a delinearse una terna de contenidos:

1. Los contenidos de la disciplina d, establecidos por esta, por su historia;
2. Los contenidos de la Didáctica de aquella disciplina: Dd; esta tiene como objeto de estudio la sistematización (en la óptica: enseñanza _ aprendizaje eficaz) de los elementos de la disciplina d, pero los contenidos específicos de Dd no son sólo los contenidos de la disciplina d, son nuevos respecto a d;
3. Los contenidos de otra teoría, más general, que se podría identificar con aquella que evidencia el problema de como pasar, más allá del caso específico, de los contenidos de d a los contenidos de Dd, sea cual sea la disciplina d; se podría entonces comenzar a pensar en una especie de Didáctica general, entendida en este sentido.

Es gracias a una relación entre reflexión epistemológica y didáctica sobre la Matemática que se llega al debate sobre los elementos primarios, para entender el por qué no existe coincidencia entre los elementos primarios para un estudiante al inicio de su formación escolar y los elementos primarios de la Matemática. Sin esta posibilidad de reflexión crítica, el docente se sentiría inclinado a pensar que esta coincidencia se presenta.

 Las “fracciones”, los racionales, el pasaje a los reales, la densidad, la continuidad

Sin una fuerte preparación en Epistemología de la Matemática, todos los temas citados en el título de este párrafo podrían ser fuente de equívoco: el docente transmite un saber a los estudiantes universitarios, después de una transposición didáctica que él juzga idónea. Pero, en un caso de no suceso, cuando los estudiantes universitarios no construyen conocimiento (tanto menos competencia), la única alternativa que se tiene es pensar que los estudiantes no tienen la capacidad para afrontar este tipo de cuestiones, que no están a la altura. O, peor aún, pensar que él no es idóneo para ejercer la profesión docente. Precisamente las competencias epistemológicas revelan, por el contrario, las increíbles incidías que se esconden detrás de estos temas. Las increíbles convicciones que tienen algunos estudiantes maduros sobre la densidad y la continuidad, propuestos en el aula como puros objetos matemáticos de aprender, sin ninguna atención epistemológica, están evidenciadas por gran número de autores que han hecho investigaciones didácticas en este campo.

                   Factores “meta”, determinantes para la didáctica

Ya sea en las definiciones como en las demostraciones debe existir un amplio “grado de libertad”, favorecido por el docente, conquistado por el estudiante; es esto lo que nos enseña la Epistemología.

A propósito de demostración, deseo señalar el hecho de como tergiversaciones negativas lleva a casos aberrantes, relativo al comportamiento demostrativo de hechos absurdos por parte de un estudiante de 3° ciclo de la que escribía frases en secuencia sin ninguna relación lógica entre ellas, pero sintácticamente correctas, rica de gerundios, de conectores causales, con un formalismo preciso y exuberante. Intervenir en estos casos es casi imposible, pero lo que sí es posible es prevenirlos; sólo que para prevenir estas situaciones se necesita de una sólida competencia tanto en Epistemología como en Didáctica de la Matemática, no sólo en Matemática.

CONCLUSIONES

Concluye que, si la Epistemología estudia la evolución de los conceptos, no es posible pensar en escindir los estudios de Epistemología de la Matemática de aquellos de la Historia de la Matemática.

Así, parece obvio pensar la Historia como la referencia paradigmática por excelencia para entender la evolución de las ideas y las necesidades de adecuar el pensamiento.

El uso de la Historia de la Matemática como instrumento didáctico en los cursos de Matemática.

Es fundamental que un docente se confronte directamente con la historia de la disciplina y que pueda llegar a explicar las referencias históricas consciente y coherentemente con las propias concepciones epistemológicas.

La Didáctica de la Matemática sin relaciones con la Epistemología y la Historia es como un instrumento ágil y potente que ninguno sabe usar plenamente; la Epistemología y la Historia son medios culturales fuertes, abstractos y profundos, que la Didáctica de la Matemática hace concretos y útiles al progreso de la humanidad, a la construcción de competencias, a la conciencia del propio saber.

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4. Consecuencias directas de los factores culturales en el campo didáctico, y metadidáctico.

3. Los factores didácticos (o profesionales)